产品经理的逻辑推理

前言

大家好，我是小诺。

今天我们来看两道逻辑推理题，第一道题是头条面试策略产品经理的逻辑题。第二道是一个朋友去某国企的面试题。

一、囚徒难题

有 100 个囚犯分别关在 100 间牢房里，牢房里听不到、也看不到外面。

牢房外有一个空荡荡的房间，房间里有一个由开关控制的灯泡。

初始时，灯是关着的，且所有囚犯都知道这个信息。

看守每次随便选择一名囚犯进入房间，再带回他自己的牢房，如此不断循环。

看守会保证每个囚犯都会被选中无穷多次。

囚犯在有灯的房间中时，可以操作灯的开关。

囚犯在自己牢房时，看不到任何东西、听不到任何声音。

如果在某一时刻，某名囚犯断定所有囚犯都进过有灯的房间了，则可以对看守说：「所有人都进去过了」。

如果说对了，则所有囚犯都能释放。

如果说错了，则所有囚犯都会被杀死。

游戏开始前，所有囚犯可以聚在一起商量对策，但在此之后他们再也不能见面或交换任何信息。

他们应该设计一个怎样的协议，让自己被释放出去呢？

注意：这是一个纯理论问题，不是脑筋急转弯。 其它补充信息：

\1. 「所有人都进去过了」只能说一次，如果说的时候有任何一个囚犯还没进去过，则所有囚犯都会被杀掉。

\2. 所有在牢房中的囚犯，都看不到灯是开着还是关着，只有进入有灯房间的囚犯才能看到（并控制）这盏灯。

题目分析：

1.因商定对策后，100个囚犯无法再交流，所以互相之间无法直接传达信息。

2.因此用电灯进一步来讲是用电灯的亮灭，来作为唯一可传达信号的载体。

3.因为互相再不能对话，所以应当制定一个规则，让有一个人可以根据规则记录大家是否都进去过了。

4.如何去记录呢，因为电灯只有亮灭状态，当某个人进入或者再次进入的时候，不知道这中间经历了多少人，人员有没有重复。

5.所以我们要设定一个规则，用电灯的初始状态作为基准，另一状态记录1个人进入。等再次回到初始状态，则再记录1人。

6.为了达到这个效果，所以第一个人进去就要把电灯打开，记N=1。

7.那么后面的人该怎么制定规则呢？假设第1个人进去之后，轮到了第2个人，则为了告诉第1个人他进来过了，所以他要把灯关闭。

8.为了让这个信号可以重新被第1个人看到，所以后面的人都不能再改变灯的状态。

9.所以2-100号囚犯，在进来屋里看到灯是开着的，并且是第一次进来，就要把灯关上。如果灯是开着的，但是不是第一次进来，就别去改变灯的情况，留给后面的人。

10.同时如果灯是关闭的，表示前面已经有人把1号囚犯设置的灯的开改变成了关，所以为了保证消息传达给1号囚犯，所以无论是不是第一次进来都不应该再改变。

11.也就是当灯泡开始不亮时

设第一个进去的囚犯为1号，进去后把灯打开，并记N=1。

第2-100号囚犯进去后，如果看到灯开着，若是第一次进入房间则将灯关上，否则把灯保留原状态。

等到1号囚犯再一次进去时，如果看到灯关着，就把灯打开，同时N=N+1。如果灯亮着，则保留原状态。

（即选择一个固定的人开灯，其余的人只能关灯且只能关一次。）

12.一直等到N=100时，可以证明100个囚犯都进去过了。

二、语数比赛

有两个班级AB班的班主任，准备各自挑选一名学生来进行语数混考的比赛，语数题目比例不确定。

A班主任让学生分别进行了语数的测试，最后把语数成绩相加，总分第一名的作为比赛选手。

B班主任也让学生进行语数分别考试，把语数成绩相乘，最后总分第一名的作为比赛选手。

最后你预估AB班谁会胜出？（能表达出自己的思路即可。）

假设:

1.比赛比较的条件是语数混考分数，总分100分，总分更高的获胜。

2.AB两个班级学生的水平相等，测试成绩分布两班无太大差异。

3.预估哪个班胜出，比较的是谁的概率更大，而不是确定性的结果。

4.测试成绩能代表学生水平，且可以等比例换算到比赛的表现。

5.测试语文满分100分，测试数学满分100分。

注解:

1.水平相等是为了保证不出现A班学生语文数学测试成绩最高都是10分，B班最高都是100分的情况，对调也亦然。为的是排除极端情况。

A可能出现占优势的极端情况，同样B也可能出现，所以讨论没有意义，所以假设水平相等。

2.测试成绩分布无差异，是为了保证同样的语数测试学生获得150分，A班存在100分数学50分语文的情况，同等的B班也会有偏科情况。

如果一个班级偏科严重，另一个语数成绩均匀同样也没有讨论的意义。所以假设分布无差异。

分析:

A班老师的思路，是比较加和的大小。B班老师的思路，是比较乘积的大小。

在语数测试考取总分相同的前提下（设最高成绩是120），我们来比较下加和和乘积的差异。

如果把数学测试成绩设为a，语文测试成绩设为b。a+b的和保持120不变。

把a和b看做一个矩形的长和宽，在a老师的选择中。只要保证长加宽等于120即可，100+20，60+60都可以。

而b老师保证的是长乘宽最大，也就是面积最大，在长宽和为120的条件下，只有正方形面积最大，也就是a和b相等等于60时，乘积最大。

小结:

所以a老师选择的学生是总分高即可的原则，可以偏科。

b老师是乘积高的情况下尽量保持数学语文成绩相差不大，水平均等。

但这并不代表，a班选出的学生就偏科。b班的就不偏科。

下面我们来分析比赛题目的比例，题目比例不确定，可以等同于语文数学分数占比不确定。

无非以下三种情况:

1.语文数学占比相等。

2.语文比数学占比高。

3.数学比语文占比高。

情况1.语文数学各50%。这样的情况下，不论a和b班学生偏不偏科，哪个学生测试总分高，哪个比赛总分就高。

举例，如果A班学生测试成绩是20分数学100语文，B班是60数学60语文。按照比例计算。

A班学生比赛成绩是500.2+501=60。B班是500.6+500.6=60。所以谁测试成绩高谁获胜。

情况2和3，题目比例不相等。比如数学比语文分数占比多，比如数学满分60，语文满分40，总分设置100分。这种情况下，谁分数大的那门课成绩更好，谁更能获胜。AB班都有可能，机会均等。

分析了这么多情况，我们发现A和B都有可能比对方强，机会也都均等。

那是否有一种情况让两班不一样，我们来看一下。

举个例子，A班第一名测试总分140，语文40，数学100。第二名总分130，语文65，数学65。

B班也一样。

此时按照A班的规则是派第一名参赛。

B班按照规则，65的平方大于40*100，派水平低的第二名去参赛。

如此条件下，因为测试水平代表比赛水平，且成绩可以等比例换算。

所以A的比赛成绩＞B。

结论

所以因为乘积的标准会出现选择出总分为第二名的情况，而加和不会。

其他任何情况A和B都有可能发生，超过对方。

所以A班选人规则获胜几率比较大。